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Veja Também Regra de Três - Revisão - Parte I Regra de Três - Revisão - Parte II Regra de Três - Revisão - Parte III
Regra de Três Composta
Uma regra de três é composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais. Antes de mais nada, lembremos que : I - Se uma grandeza X é diretamente proporcional a duas ou mais grandezas A, B, C, D, ... ela será diretamente proporcional ao produto das medidas dessas grandezas A, B, C, D, ... II - Se uma grandeza X é diretamente proporcional a A, B, C, ... e inversamente proporcional a M, N, P, ..., ela será diretamente proporcional ao produto das medidas de A, B, C, ... pelo produto dos inversos das medidas de M, N, P, ... . Vamos aprender, com exemplos, e utilizando as propriedades acima descritas, como resolver Regras de Três Compostas. Exemplo 1 - Para pintar um muro de 12 metros de comprimento e 3 metros de altura são gastos 4 baldes de tinta. Quantos baldes de tinta serão necessários para pintar um muro de 18 metros de comprimento e 5 metros de altura ? Iniciemos isolando a grandeza que contém o termo desconhecido e ordenemos as demais grandezas.
Tinta Comprimento Altura
4 baldes 12 metros 3 metros
x baldes 18 metros 5 metros
Verifiquemos se a grandeza do termo desconhecido é diretamente ou inversamente proporcional às demais grandezas proporcionais, e o faremos, sempre levando em conta que a grandeza não envolvida é constante. I - As grandezas quantidade de tinta e comprimento do muro são diretamente proporcionais, já que, quanto maior for o comprimento do muro mais tinta será gasto para pintá-lo. II - As grandezas quantidade de tinta e altura do muro são diretamente proporcionais, já que, quanto maior for a altura do muro mais tinta será gasto para pintá-lo. III - Como ambas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza quantidade de tinta, esta será diretamente proporcional ao produto das duas outras grandezas. Assim, teremos : Exemplo 2 - Para se alimentar 18 porcos por um período de 20 dias são necessários 360 kg de farelo de milho. Quantos porcos podem ser alimentados com 500 kg de farelo durante 24 dias ? Iniciemos isolando a grandeza que contém o termo desconhecido e ordenemos as demais grandezas.
Porcos Tempo Quantidade
18 porcos 20 dias 360 kg
x porcos 24 dias 480 kg
Verifiquemos se a grandeza do termo desconhecido é diretamente ou inversamente proporcional às demais grandezas proporcionais, e o faremos, sempre levando em conta que a grandeza não envolvida é constante. I - As grandezas quantidade de porcos e tempo são inversamente proporcionais, já que, quanto mais porcos comerem menos tempo durará o estoque de farelo de milho. II - As grandezas quantidade de porcos e quantidade de farelo são diretamente proporcionais, já que, quanto mais porcos, mais farelo será necessário para alimentá-los. III - Como a grandeza quantidade de farelo é diretamente proporcional e a grandeza tempo é inversamente proporcional à grandeza quantidade de porcos, esta será diretamente proporcional ao produto das medidas quantidade de farelo e o inverso da medida que exprime o tempo. Assim, teremos : Exemplo 3 - 10 operários trabalhando 8 horas por dia executam um certo trabalho em 12 dias. Em quantos dias 16 operários, trabalhando 6 horas por dia, executarão o mesmo trabalho ? Iniciemos isolando a grandeza que contém o termo desconhecido e ordenemos as demais grandezas.
Tempo ( dias ) Operários Tempo ( horas )
12 dias 10 operários 8 horas
x dias 16 operários 6 horas
Verifiquemos se a grandeza do termo desconhecido é diretamente ou inversamente proporcional às demais grandezas proporcionais, e o faremos, sempre levando em conta que a grandeza não envolvida é constante. I - As grandezas tempo ( dias ) e número de operários são inversamente proporcionais, já que, quanto mais dias de trabalho menos operários serão necessários. I - As grandezas tempo ( dias ) e tempo ( horas ) são inversamente proporcionais, já que, quanto mais dias de trabalho menos horas diárias de trabalho serão necessários. III - Como a grandeza tempo em dias é inversamente proporcional à grandeza tempo em horas e inversamente proporcional à grandeza número de operários, esta será diretamente proporcional ao produto entre os inversos das medidas tempo em horas e número de operários. Assim, teremos :
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Regra de Três Composta - Método Prático
Vamos aprender uma forma, ainda mais prática, para resolvermos problemas de Regra de Três Composta Exemplo 4 - 5 carros de um mesmo modelo consomem 200 litros de álcool em 6 dias, percorrendo uma certa quilometragem por dia. Em quantos dias, 12 carros desse mesmo modelo, percorrendo a mesma quilometragem por dia, consumirão 800 litros de álcool? Esse é um problema de regra de três composta, montemos a tabela das grandezas, mantendo a grandeza incógnita na primeira coluna, e indiquemos abaixo de cada coluna se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais :
Tempo ( dias ) Quant. de Álcool ( litros ) Quant. de Carros
6 dias 200 litros 5 carros
x dias 800 litros 12 carros
Diretamente Inversamente
Analisando cada grandeza com a "grandeza incógnita, considerando constante os dados das demais, teremos : 1 - As grandezas quantidade de combustível ( álcool ) e o tempo são diretamente proporcionais, já que o aumento na quantidade de dias acarretará no aumento da quantidade de litros de álcool consumido. 2 - As grandezas tempo e quantidade de carros são inversamente proporcionais, já que o aumento na quantidade de carros, mantendo-se a quantidade de combustível constante, acarretará na diminuição na quantidade de dias. E dessa forma, invertendo-se os valores da grandeza inversa, teremos : Exemplo 5 - Um fazendeiro contratou 30 homens que trabalhando 6 horas por dia, em 12 dias prepararam um terreno de 2.500m2. Se tivesse contratado 20 homens para trabalhar 9 horas por dia, qual a área do terreno que ficaria pronto em 15 dias ? Esse é um problema de regra de três composta, montemos a tabela das grandezas, mantendo a "grandeza incógnita" na primeira coluna :
Área ( m2 ) Quant. de Homens Jornada ( horas) Tempo ( dias )
2.500 m2 30 homens 6 horas 12 dias
xm2 20 homens 9 horas 15 dias
Diretamente Diretamente Diretamente
Analisando cada grandeza com a "grandeza incógnita", considerando constante os dados das demais, teremos : 1 - As grandezas área e quantidade de homens são diretamente proporcionais, já que diminuindo-se a quantidade de homens, a área preparada diminuirá . 2 - As grandezas área e jornada de trabalho são diretamente proporcionais, já que aumentando-se a jornada diária de trabalho mais área poderá ser preparada. 3 - As grandezas área e tempo são diretamente proporcionais, já que quanto maior for o tempo maior será a área preparada. E dessa forma, teremos : Exemplo 6 - ( FAAP - SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em : a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias Esse é um problema de regra de três composta, montemos a tabela das grandezas, mantendo a "grandeza incógnita" na primeira coluna :
Tempo ( dias ) Quant. de Folhetos Quant. de Máquinas Jornada ( horas )
5 dias 50.000 folhetos 2 máquinas 8 horas
x dias 60.000 folhetos 1 máquina 12 horas
Diretamente Inversamente Inversamente
Analisando cada grandeza com a "grandeza incógnita, considerando constante os dados das demais, teremos : 1 - As grandezas tempo e quantidade de folhetos são diretamente proporcionais, já que aumentando-se a quantidade de folhetos, aumentará o tempo de execução . 2 - As grandezas tempo e Quantidade de Máquinas são inversamente proporcionais, já que diminuindo-se a quantidade de máquinas maior será tempo para produzir os folhetos. 3 - As grandezas jornada de trabalho e tempo são inversamente proporcionais, já que quanto maior for o número de horas trabalhadas por dia menor será a quantidade de dias para confeccionar os folhetos. E dessa forma, invertendo-se os valores das grandezas inversas, teremos :
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Exercícios Propostos
01) 20.000 caixas de um mesmo tipo foram embaladas por 20 máquinas, em 5 dias, funcionando um certo número de horas por dia. Quantas caixas do mesmo tipo serão embaladas por 8 máquinas, em 12 dias, funcionando no mesmo ritmo das outras? 02) 3 caminhões, com a mesma capacidade de transporte, transportam 180 caixas do mesmo tipo em 5 dias, trabalhando um período por dia. Quantas caixas desse tipo serão transportadas por 5 caminhões, como os primeiros, em 8 dias, trabalhando no mesmo ritmo? 03) Na alimentação de 3 cavalos durante 7 dias consumiram-se 1.470 kg de alfafa. Para alimentar 8 cavalos durante 10 dias, quantos quilos são necessários? 04) Um bloco de mármore de 3 m de comprimento, 1,5 m de largura e 60 cm de espessura pesa 4.350 kg. Quanto pesará um outro bloco do mesmo mármore com 2,2 m de comprimento, 1,2 m de largura e 75 cm de espessura? 05) 5 carros de um mesmo modelo consomem 200 litros de álcool em 6 dias, percorrendo uma certa quilometragem por dia. Em quantos dias, 12 carros desse mesmo modelo, percorrendo a mesma quilometragem por dia, consumirão 800 litros de álcool? 06) 5 máquinas asfaltam 500 km em 24 dias, trabalhando um certo número de horas por dia. Em quantos dias, 4 máquinas desse tipo asfaltarão 750 km, trabalhando no mesmo ritmo das primeiras. 07) Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas diariamente. Quanto tempo levarão para arar esse mesmo campo 12 homens trabalhando diariamente 4 horas menos ? 08) 3 faxineiros levam 8 dias para limpar um prédio, trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 4 faxineiros, com o mesmo ritmo de trabalho que os anteriores, para limparem o prédio em 10 dias ? 09) Uma certa quantidade de ração é consumida por 6 cavalos, em 10 dias, sendo que cada cavalo consome 12 kg de ração por dia. Num período de racionamento a mesma quantidade deverá ser consumida por 8 cavalos em 15 dias. Quantos quilogramas cada cavalo poderá consumir por dia? 10) 3 torneiras iguais enchem um tanque de 5.000 litros de capacidade, em 10 h. Fechando uma das torneiras, em quanto tempo as outras despejarão 3.000 litros nesse tanque ? 11) 4 trabalhadores colhem 200 caixas, iguais, de laranjas, em 5 dias, trabalhando num certo ritmo. Quantas caixas de laranjas, iguais a essas, serão colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita ? 12) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma velocidade de 75 km por hora, viajando-se 6 h por dia. Viajando a 80 km por hora durante 5 h por dia, em quantos dias iríamos de uma cidade à outra ? 13) Em 50 dias uma escola usou 6.000 folhas de papel para imprimir provas do tipo A e do tipo B, para 1.200 alunos. A escola tem 1.150 alunos, no momento. Quantas folhas serão usadas durante 20 dias, para imprimir dois tipos de provas semelhantes às anteriores ? 14) Uma máquina tem duas rodas dentadas: uma grande e outra pequena, encaixadas uma na. outra. A roda maior tem 30 dentes e a menor tem 20. A roda maior dá 12 voltas em 2 min. Quantas voltas dá a roda menor em 5 min ? 15) Quantos dias, gastarão 40 homens para preparar 10 km de uma estrada, se 24 homens preparam 15 km em 90 dias? 16) Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários e produzem em 8 horas de serviço 120 pares de calçados. Desejando ampliar as instalações para produzir 300 pares por dia, quantos operários são necessários para assegurar essa produção com 10 horas de trabalho diário ? 17) Dois cavalos cujos valores são apreciados como diretamente proporcionais às suas forças e inversamente proporcionais às suas idades, têm: o primeiro 5 anos e 4 meses e o segundo, 3 anos e· 8 meses. A força do primeiro está para a do segundo como 2 está para 5. Calcular o preço do primeiro, sabendo-se que o segundo foi vendido por R$ 1.280,00. 18) Um fazendeiro contratou 30 homens que trabalhando 6 horas por dia, em 12 dias prepararam um terreno de 2.500m2. Se tivesse contratado 20 homens para trabalhar 9 horas por dia, qual a área do terreno que ficaria pronto em 15 dias ? 19) Um trabalho é executado em 16 dias por 18 operários que trabalham 10 horas por dia. Em quantos dias 24 operários trabalhando 12 horas por dia, poderiam fazer o mesmo serviço ? 20) 36 operários, trabalhando 10 dias de 8 horas, fazem 60.000 m de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 40 operários para que sejam feitos 70.000 m do mesmo tecido ? 21) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer um poço de 100 m, num terreno cuja dificuldade é expressa por 4. Quantos dias de 6 horas levaria este operário para cavar um poço de 200 m, num terreno cuja dificuldade é expressa por 3 ? 22) Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos dias se poderá terminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operários e que se trabalham agora 1 horas a menos por dia ? 23) ( SANTA CASA - SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
(A)   8 (B)   15 (C)   10,5 (D)   13,5
24) ( FAAP - SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
(A)   5 dias (B)   8 dias (C)   10 dias (D)   12 dias
25) ( CEFET - 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
(A)   3 meses (B)   4 meses (C)   45 dias (D)   2 meses
26) ( Colégio Naval - 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :
Resposta dos Exercícios Propostos
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